БРУЦОШКИ САН

Уобичајен

The Freshman’s dream или „бруцошки сан“ је назив за грeшку која је врло честа, како међу ученицима, тако и међу студентима. Образац који се погрешно користи је следећег облика: (а + b)n = an + bn , што је нетачно и врло лако се може показати и на примеру.

Пример:

(2 + 3)2 = 22 + 32

52 = 4 + 9

25 = 13

Овај образац се још назива и „Дечја биномна теорема“ или „Ђачка биномна теорема“.

binomial1

Поштанске марке Републике Хаити са мотивом квадрата бинома

Тачан образац, за n = 2 је следећи:

0af932ae5f5cdd120b924e4a038da63a

Наведена формула позната је под називом квадрат бинома. Доказ теореме се може извести и геометријски на следећи начин:
Површина квадрата чија је страница a+b је P = (a+b), међутим, ако квадрат разложимо, као на слици испод, на

квадрат странице а чија је површина P = a2,

квадрат странице b чија је површина P = b

и два правоугаоника страница а и b чија је површина P = ab.

Укупна површина фигуре ће бити: P =a 2+2ab+b2

x-y-2-diagram

За n > 2, образац се добија на следећи начин:

binom

Коефицијенти  који стоје уз непознате су вредности из Паскаловог троугла.

triangle1

Поштанска марка Либерије са мотивом Паскаловог троугла

О Паскаловом троуглу

Паскалов троугао представља бесконачан низ природних бројева, који је у облику пирамидалне шеме. Сваки број у једном реду представља збир бројева који су изнад њега. Крајњи бројеви шеме су увек јединице. Ови бројеви посматрани по врстама понашају се као биномни коефицијенти. Назив је добио по математичару Блезу Паскалу.

pascal-trinagle

Геометријски мотив троугла среће се још у неолиту и представља почетке математичке мисли. Постоје неки докази да је Паскалов бројни троугао, пре њега познат као аритметички троугао, био близак и арапском астроному, песнику и математичару, Омару Хајаму још у  XI веку. Највероватније је овај троугао доспео до европских математичара из Кине,  преко  Арапа.  Кинески  приказ  биномних  коефицијената,  познат  као  Паскалов троугао, налази се у његовом постхумно објављеном раду 1665. године. Први пут га у Европи срећемо у једној Апианусовој аритметици 1527. године.

Касније, у XVII веку, овај  аритметички  троугао  постаће  кључна  тачка  у  развоју  три значајне математичке области: истраживања бесконачних редова, рачуна коначних диференција и теорије вероватноће.

Бројне су примене Паскаловог троугла у реалном свету. Познати геометријски низ деобе живе ћелије је у суштини Паскалов троугао. Жива ћелија се дели и умножава по основном бројном обрасцу у природи – Паскаловом или аритметичком троуглу а њена деоба се може повезати конкретније и са Фибоначијевим и Лукасовим низом бројева. Са низом деобе живе ћелије повезано је и савремено извођење Тицијус Бодеовог правила за дефинисање удаљености планета нашег система од Сунца. Паскалов троугао срећемо као општу законитост и код атомске структуре. Протонска и неутронска конфигурација у језгру атома и  конфигурација електрона  у  омотачу  атома  повезане  су  са  бројевима  фигуративних низова Паскаловог троугла.

Дијагоналним сабирањем бројева Паскаловог троугла добија се Фибоначијев низ:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ….

fibonacci

Фибоначијеви бројеви или како их често називамо Фибоначијев низ су бројеви, уствари врста рекурзионог низа у којем збир два претходна даје следећи број у низу. Низ је назван по Леонарду Фибоначију који је до тог низа дошао проучавајући размножавање зечева. 

Погледајте овај занимљиви видео и сазнајте више о Паскаловом троуглу.

Извори:
https://en.wikipedia.org/wiki/Freshman%27s_dream
https://sr.wikipedia.org/sr/Паскалов_троугао
https://radoslav55.wordpress.com/2013/04/10/паскалов-троугао
Advertisements

Оставите одговор

Попуните детаље испод или притисните на иконицу да бисте се пријавили:

WordPress.com лого

Коментаришет користећи свој WordPress.com налог. Одјавите се / Промени )

Слика на Твитеру

Коментаришет користећи свој Twitter налог. Одјавите се / Промени )

Фејсбукова фотографија

Коментаришет користећи свој Facebook налог. Одјавите се / Промени )

Google+ photo

Коментаришет користећи свој Google+ налог. Одјавите се / Промени )

Повезивање са %s