ГАУСОВ ПОСТУПАК

Уобичајен

Од анегдота о познатим математичарима, највише се препричава ова о великом математичару Карлу Фридриху Гаусу, из доба његовог детињства:

Једном приликом учитељ је ђацима дао задатак да израчунају збир првих 100 природних бројева. Очекивао је да ће га ученици, задубљени у решавање, бар неко дуже време оставити на миру, али се убрзо изненадио када је након неколико тренутака  мали Гаус рекао тачан резултат. Сам поступак је на учитеља оставио посебан утисак.

Гаусово решење:

Гаус је бројеве здруживао у парове: први с последњим, други с претпоследњим и тако редом. Добио је 50 таквих парова:

(1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + … + (49 + 52) + (50 + 51),

а како је збир бројева у сваком пару једнак 101, коначан резултат једнак је 50 ∙ 101.

Врло једноставно, зар не?

Овај поступак би могао да се прикаже и на следећи начин:

у једном реду испишемо бројеве од 1 до 100, а испод њих потпишемо бројеве у обрнутом редоследу, од 100 до 1.

Gaus_1_sl_!

Сабирањем потписаних парова бројева, сваки пут збир ће бити 101, па је укупна сума 100 ∙ 101, што је 2 пута веће од траженог збира.

gaus_7

Геометријска интерпретација

Задаци овог типа, на духовит начин, геометријским приказом, решавани су још у старој Грчкој.

Пример 1

Одредићемо збир првих n природних бројева

1 + 2 + 3 + … + n

Број 1 представићемо једним квадратићем, број 2 са 2 квадратића, број 3 са 3 квадратића, и тако редом.

Сабирање: 1 + 2 + 3 + … + n, представљаће слагање квадратића који редом приказују поједине природне бројеве у облику једнакокрако-правоуглог троугла.

gaus_2_sl

У неком n-том по реду, у таквом троуглу, имаћемо укупно 1 + 2 + 3 + … + n квадратића, и задатак се своди на одређивање траженог збира. Уочимо да троугао на свакој од катета има n квадратића. Узмимо два таква троугла, који су подударни, и спојимо их дуж хипотенузе:

gaus_sl_3

Добијамо правоугаоник који се састоји од n(n + 1) квадратића, што је два пута више од суме 1 + 2 + 3 + … + n. Дошли смо до резултата да је

 gaus_8

Пример 2

На исти начин сада можемо да одредимо збир првих n узастопних непарних природних бројева:

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1).

Сабирање ћемо приказати на следећи начин:

gaus_sl_4

Примењујући поступак из претходног примера, добићемо:

gaus_sl_5

Коначно, закључујемо да је

gaus_9

за неки природан број n.

Пример 3

Да бисмо одредили збир

1 + 4 + 7 + … + (3n – 2)

поновићемо претходни поступак:

gaus_sl_6

Закључујемо да је:

sl

На исти начин, као у претходна три примера, можемо да одредимо збир било којег коначног низа природних бројева, чија је разлика између суседна два члана константна.

О Гаусу

Карл Фридрих Гаус (1777-1855) био је немачки математичар и научник. Гаус је оставио траг на многим пољима математике и науке и сматра се једним од најутицајнијих математичара у историји.

gaus_slika

Био је чудо од детета, о чему сведоче бројне анегдоте које се тичу његове запрепашћујуће преране зрелости која се могла приметити још у време док је имао две године. И сам је умео да се нашали да је прво научио рачун, па тек онда да говори. До својих првих математичких открића дошао је као тинејџер. Први је решио проблем конструисања правилног 17-тоугла са само лењиром и шестаром. 

Написао је Disquisitiones Arithmeticae (Аритметичка истраживања), своје најзначајније дело, као двадесетједногодишњак 1798. године, иако је књига објављена тек 1801. године. Била је камен темељац за заснивање теорије бројева као посебне математичке дисциплине, а дао јој је облик који и данас има.

Гаусов лик налазио се на новчаници од 10 немачких марака.

mark

Уколико желите да проверите и увежбате ове обрасце, решите следеће задатке за вежбу.

Сабирање узастопних бројева

1. За колико је збир првих шест парних природних бројева већи од збира првих шест непарних природних бројева?

(Већи је за 6)

2. За колико је збир првих двадесет парних природних бројева већи од збира првих двадесет непарних природних бројева?

(Већи је за 20)

3. За колико је збир првих 1000 парних природних бројева већи од збира првих 1000 непарних природних бројева?

(Већи је за 1000)

4. Израчунај збир:

а) првих 10 природних бројева

б) првих 20 природних бројева

в) првих 50 природних бројева

г) првих 68 природних бројева

д)првих 100 природних бројева

а) 55 ; б) 210; в) 1275; г) 2346; д)  5050

5. Израчунај збир:

а) првих 7 природних бројева

б) првих 19 природних бројева

в) првих 85 природних бројева

                        а) 28; б) 190; в) 3655

6. Израчунај збир:

а) свих природних бројева већих од 52, а мањих од 68

б) свих природних бројева већих од 79, а мањих од 111

в) свих природних бројева већих од 60, а мањих од 200

а) Прво треба да израчунате колико је  53+54+55+…+66+67. То ћемо израчунати тако што ћемо прво одреди збир  1+2+3+…+67, а затим од њега одузети збир  1+2+3+…+52. Како је 1+2+3+…+67=2278,1+2+3+…+52=1378  и  2278–1378=900, тражени збир је 900.;

б)80+81+82+…+110 =(1+2+3+…+110)–(1+2+3+…+79)=605–360=2945;

в) 61+62+63+…+199=(1+2+3+…+199)–(1+2+3+…+60)=19900–1830=18070

7. Израчунај збир:

а) свих парних бројева мањих од 40

б) свих парних бројева мањих од 65

в) свих непарних бројева мањих од 45

г) свих непарних бројева мањих од 80

д) свих парних природних бројева већих од 15, а мањих од 35

ђ) свих непарних природних бројева већих од 28, а мањих од 100

е) свих парних природних бројева већих од 10, а мањих од 60

ж) Првих 60 парних природних бројева

з) Првих 50 непарних природних бројева

а) Збир  2+4+6+8+10+…+38  израчунаћемо тако што ћемо извући заједнички чиналац 2 испред заграде, па добијамо  2+4+6+8+10+…+38=2∙(1+2+3+4+5+…+19 , а израз у загради израчунамо као у претходним задацима:  1+2+3+…+19 = 190 . Тражени збир парних бројева мањих од 40 једнак  2∙190, тј. 380;        

б) 2+4+6+8+…+64=2∙(1+2+3+4+…+32)=2∙528=1056;        

в) 1+3+5+7+…43  ћемо израчунати тако да од збира свих бројева  1+2+3+4+…+43  одузмемо збир парних бројева 2+4+6+8+…+42. Како је  1+2+3+4+…+43=946,  2+4+6+8+…+42 =462 и 946-462=484, тражени збир свих непарних бројева мањих од 45 је 484 . ;                         

г) 1+3+5+7+…+79=(1+2+3+4+…+79)–(2+4+6+8+…78)=3160–1560=1600;

д) 16+18+20+22+…+34 =(2+4+6+8+…+34)–(2+4+6+…+14)=306–56=250; 

ђ) 29+31+33+35+37+…99=(1+3+5+…+99)–(1+3+5+…+27)=2500–196=2304;    

е) 12+14+18+…+58=(2+4+6+…+58) – (2+4+…+10) = 870 – 30 = 840 ;   

ж) 2+4+6+8+…+120 =2∙(1+2+3+…+60)=2∙1830=3 660;    

з) 1+3+5+7+…+99=(1+2+3+4+…+99)–(2+4+6+8+…+98)=4950–2450=2500

Извори:

https://element.hr/static/files/1-Realni%20brojevi/Gaussova%20dosjetka/Gaussova%20dosjetka%20-%20Clanak.pdf 
http://sr.wikipedia.org/sr/Карл_Фридрих_Гаус
Advertisements

2 responses »

Оставите одговор

Попуните детаље испод или притисните на иконицу да бисте се пријавили:

WordPress.com лого

Коментаришет користећи свој WordPress.com налог. Одјавите се / Промени )

Слика на Твитеру

Коментаришет користећи свој Twitter налог. Одјавите се / Промени )

Фејсбукова фотографија

Коментаришет користећи свој Facebook налог. Одјавите се / Промени )

Google+ photo

Коментаришет користећи свој Google+ налог. Одјавите се / Промени )

Повезивање са %s