ПАРАДОКС – ХИЛБЕРТОВ ХОТЕЛ СА БЕСКОНАЧНИМ БРОЈЕМ СОБА

Уобичајен

hotel

Бесконачни хотел, мисаони експеримент који је створио немачки математичар Давид Хилберт, је хотел са бесконачним бројем соба. То је лако разумети, зар не? Па, није. Шта ако је цео резервисан, а једна особа хоће да узме собу? А шта ако то хоће њих 40? Или бесконачно пун аутобус људи? Проблеми смештања на брзину решавају се користећи Хилбертов парадокс.

Двадесетих година 20. века немачки математичар Дејвид Хилберт смислио је чувени мисаони експеримент да би нам показао како је тешко замислити појам бесконачности.

Замислите хотел са бесконачним бројем соба и врло вредним ноћним пословођом. Једне ноћи, Бесконачни хотел је дупке пун, цео је попуњен бесконачним бројем гостију. Човек улази у хотел и тражи собу. Не желећи да га одбије, ноћни пословођа одлучује да му направи места. Како? Лако.

demopicture_763838_20120928161839 Замоли госта из собе број 1 да се премести у собу број 2, госта из собе 2 да пређе у собу 3 и тако даље. Сваки гост прелази из собе „n“ у собу „n+1“. Пошто има бесконачан број соба, постоји нова соба за сваког постојећег госта. Тиме остаје слободна соба за нову муштерију. Овај процес се може поновити за сваки коначан број нових гостију.

Ако би, на пример, аутобус истоварио 40 нових људи који траже собе, онда сваки постојећи гост само пређе из собе број „n“ у собу број „n+40“ и тако се отвори првих 40 соба.

Али сада, бесконачно велики аутобус са пребројиво бесконачним бројем путника пристаје поред хотела. Пребројиво бесконачно је кључна ствар.

Hilbert's HotelБесконачни аутобус са бесконачним путницима збуњује пословођу у први мах, али онда схвата да постоји начин да смести све нове људе. Замоли госта у соби 1 да пређе у собу 2. Онда замоли госта из собе 2 да пређе у собу 4, госта из собе 3 да пређе у собу 6 и тако даље. Сваки постојећи гост прелази из собе број „n“ у собу број „2n“ попуњавајући само бесконачан број парних соба. Урадивши ово, он је испразнио све непарне собе којих има бесконачан број, у које су онда ушли људи који су изашли из бесконачног аутобуса. Сви су задовољни и хотел послује боље него икад. У ствари, послује са истом зарадом као и увек, инкасирајући бесконачан број долара сваке ноћи.

maxresdefault

Прича о овом невероватном хотелу се шири. Људи долазе са свих страна. Једне ноћи, дешава се незамисливо. Ноћни пословођа гледа напоље и види бесконачну колону бесконачно великих аутобуса, сваки са пребројиво бесконачним бројем путника. Шта може да уради? Ако не нађе собе за њих хотел ће изгубити бесконачну суму новца, а он ће сигурно изгубити посао. Срећом, сети се да је око 300. године п.н.е Еуклид доказао да постоји бесконачан број простих бројева. Да би испунио овај наизглед немогућ задатак да нађе бесконачан број кревета за бесконачне аутобусе, пуне уморних путника у бесконачном броју, ноћни пословођа додељује сваком већ постојећем госту први прост број, 2, степенован бројем њихове собе. Тако гост из собе број 7 одлази у собу број 2^7 (2 на седми), а то је соба 128. Пословођа затим узима људе из првог од бесконачних аутобуса и додељује им собу број: следећи прост број, 3, степенован бројем њиховог седишта у аутобусу. Тако особа на седишту број 7 у првом аутобусу одлази у собу број 3^7 то јест у собу 2.187. То се наставља за цео први аутобус. Путницима из другог аутобуса се додељују експоненти следећег простог броја, 5. Следећем аутобусу, експоненти броја 7. Следећим аутобусима: експоненти броја 11, експоненти броја 13, броја 17 итд.

tabela_hotel

Пошто сваки од ових бројева као делиоце има само 1 и природне бројеве експоненте простог броја у основи, нема преклапања бројева соба. Сви путници се распоређују по собама користећи јединствену шему додељивања соба засновану на јединственим простим бројевима. На овај начин ноћни пословођа може да смести сваког путника из сваког аутобуса. Мада, остаће много непопуњених соба, као, на пример соба 6 јер 6 није експонент ниједног простог броја. Срећом, његови шефови нису били добри из математике, тако да није у опасности да изгуби посао.

Стратегије ноћног пословође су могуће јер, иако је Бесконачни хотел сигурно логистичка ноћна мора, он само оперише са најнижим нивоом бесконачности, углавном са пребројивом бесконачношћу природних бројева: 1, 2, 3, 4 итд. Георг Кантор је назвао овај ниво бесконачности „алеф-нула“. Користимо природне бројеве за бројеве соба, као и за бројеве седишта у аутобусима.

alef

АЛЕФ НУЛА

Ако бисмо оперисали са вишим нивоима бесконачности, као што су они реалних бројева, ове структуриране стратегије не би више биле могуће јер немамо начина да систематски укључимо сваки број. Бесконачни хотел реалних бројева има негативне бројеве соба у подруму, собе са разломцима, тако да човек у соби број ½ увек сумња да је добио мању собу од особе у соби 1. Собе са квадратним кореном, као соба „корен из 2“ и соба „пи“, где гости очекују бесплатну питу.

Који пословођа са самопоштовањем би хтео да ради ту, чак и за бесконачну плату? Али у Хилбертовом Бесконачном хотелу, где никад нема празних соба и увек има места за још гостију, сценарија са којима се суочава увек марљиви и можда сувише гостољубиви пословођа служе да нас подсете на то како је тешко за наше релативно коначне умове да схвате тако велики појам као што је бесконачност. Можда можете да се позабавите овим проблемима после доброг ноћног сна. Али искрено, можда ћете морати да промените собу у 2 сата ноћу.

Advertisements

Оставите одговор

Попуните детаље испод или притисните на иконицу да бисте се пријавили:

WordPress.com лого

Коментаришет користећи свој WordPress.com налог. Одјавите се / Промени )

Слика на Твитеру

Коментаришет користећи свој Twitter налог. Одјавите се / Промени )

Фејсбукова фотографија

Коментаришет користећи свој Facebook налог. Одјавите се / Промени )

Google+ photo

Коментаришет користећи свој Google+ налог. Одјавите се / Промени )

Повезивање са %s